Fiche de Révision : Les Dérivées en Mathématiques | Bac 2025

Objectifs de Révision

• Connaître toutes les formules de dérivées usuelles
• Maîtriser les règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne)
• Savoir calculer la dérivée de fonctions composées
• Interpréter géométriquement la dérivée (tangente, variations)
• Résoudre des problèmes d'optimisation avec les dérivées
• Éviter les erreurs de calcul fréquentes

Points clés

• La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction
• f'(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a
• Une dérivée nulle indique un extremum potentiel (min ou max local)
• La dérivée d'une constante est toujours nulle
• Attention aux fonctions composées : appliquer la règle de la chaîne

Introduction : Qu'est-ce qu'une Dérivée ?

La dérivée d'une fonction f en un point a mesure la vitesse de variation instantanée de la fonction en ce point.

Définition formelle : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Formules de Dérivées Usuelles

Fonctions de Base

Fonctions Exponentielles et Logarithmiques

Fonctions Trigonométriques

Règles de Dérivation

1. Règle de la Somme

(u + v)' = u' + v'

Exemple : Si f(x) = x² + 3x

• f'(x) = 2x + 3

2. Règle du Produit par une Constante

(k × u)' = k × u'

Exemple : Si f(x) = 5x³

• f'(x) = 5 × 3x² = 15x²

3. Règle du Produit (Leibniz)

(u × v)' = u' × v + u × v'

Exemple : Si f(x) = x² × eˣ

• u = x², u' = 2x
• v = eˣ, v' = eˣ
• f'(x) = 2x × eˣ + x² × eˣ = eˣ(2x + x²)

4. Règle du Quotient

(u/v)' = (u' × v - u × v') / v²

Exemple : Si f(x) = (x + 1)/(x - 1)

• u = x + 1, u' = 1
• v = x - 1, v' = 1
• f'(x) = (1×(x-1) - (x+1)×1) / (x-1)²
• f'(x) = (x - 1 - x - 1) / (x-1)²
• f'(x) = -2/(x-1)²

5. Règle de la Chaîne (Composée)

(u ∘ v)' = v' × u'(v) ou [f(g(x))]' = g'(x) × f'(g(x))

Exemple : Si f(x) = (2x + 3)⁵

• g(x) = 2x + 3, g'(x) = 2
• h(t) = t⁵, h'(t) = 5t⁴
• f'(x) = 2 × 5(2x + 3)⁴ = 10(2x + 3)⁴

Applications Pratiques

1. Équation de la Tangente

L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Exemple : Trouver la tangente à f(x) = x² au point x = 2

• f(2) = 4
• f'(x) = 2x, donc f'(2) = 4
• Équation : y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4

2. Étude des Variations

Méthode :

1. Calculer f'(x)
2. Résoudre f'(x) = 0 (valeurs critiques)
3. Étudier le signe de f'(x)
4. En déduire les variations de f

Règle :

• f'(x) > 0 ⟹ f croissante
• f'(x) < 0 ⟹ f décroissante
• f'(x) = 0 ⟹ extremum potentiel

3. Problèmes d'Optimisation

Étapes :

1. Modéliser le problème (identifier la fonction à optimiser)
2. Dériver la fonction
3. Trouver les points critiques (f' = 0)
4. Vérifier qu'il s'agit d'un max ou min
5. Conclure

Pièges à Éviter

❌ Oublier la règle de la chaîne : (eˣ²)' ≠ eˣ², mais = 2x × eˣ²

❌ Confondre produit et composée : (sin(x) × x)' ≠ (sin(x))' × x'

❌ Erreur de signe avec cos : (cos x)' = -sin x (ne pas oublier le moins)

❌ Oublier le domaine de dérivabilité : √x n'est pas dérivable en 0

❌ Simplifier trop vite : Toujours vérifier les calculs intermédiaires

Exercice Type : Dérivation Complète

Énoncé : Soit f(x) = xe^(-x) définie sur ℝ.

1. Calculer f'(x)
2. Étudier le signe de f'(x)
3. Dresser le tableau de variations

Solution :

1. Calcul de f'(x) (règle du produit) :

   • u = x, u' = 1
   • v = e^(-x), v' = -e^(-x)
   • f'(x) = 1 × e^(-x) + x × (-e^(-x))
   • f'(x) = e^(-x) - xe^(-x)
   • f'(x) = e^(-x)(1 - x)

2. Signe de f'(x) :

   • e^(-x) > 0 pour tout x
   • Donc f'(x) > 0 ⟺ 1 - x > 0 ⟺ x < 1
   • f'(x) = 0 ⟺ x = 1
   • f'(x) < 0 ⟺ x > 1

3. Tableau de variations :

   • f croissante sur ]-∞, 1[
   • Maximum en x = 1 : f(1) = 1/e ≈ 0,368
   • f décroissante sur ]1, +∞[

Mémo : Dérivées Composées Fréquentes

Conclusion

La maîtrise des dérivées est essentielle pour le Bac. Entraîne-toi régulièrement sur :

• Le calcul des dérivées usuelles
• Les règles de dérivation
• Les problèmes d'optimisation

Prochaine étape : Pratique avec nos exercices interactifs et teste tes connaissances avec nos quiz.

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